ການວິເຄາະຄວາມແຕກຕ່າງຂອງຄວາມສັບສົນຂອງ Algorithm ສໍາລັບ MTSC7196

ຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບຄວາມສັບສົນຂອງ Algorithm

ເວລາທຽບກັບ. ຊັບຊ້ອນອາວະກາດ

ຄວາມສັບສົນຂອງສູດການຄິດໄລ່ຕົ້ນຕໍແມ່ນແກ້ໄຂສອງຊັບພະຍາກອນ: ເວລາ (ໄລຍະເວລາການປະຕິບັດ) ແລະ ຊ່ອງ (ການ​ນໍາ​ໃຊ້​ຄວາມ​ຈໍາ​)​. ໃນ​ຂະ​ນະ​ທີ່​ຄວາມ​ສັບ​ສົນ​ຂອງ​ເວ​ລາ​ວັດ​ແທກ​ວິ​ທີ runtime ຂະ​ຫຍາຍ​ຕົວ​ກັບ​ຂະ​ຫນາດ​ການ​ປ້ອນ​ຂໍ້​ມູນ ( ນ ), ຄວາມສັບສົນໃນຊ່ອງປະເມີນການບໍລິໂພກຫນ່ວຍຄວາມຈໍາ. ຕົວຢ່າງ:
- ສູດການຄິດໄລ່ທີ່ມີ O(n) ຄວາມ​ສັບ​ສົນ​ຂອງ​ເວ​ລາ​ຈະ​ປັບ​ຂະ​ຫນາດ​ການ​ປ້ອນ​ຂໍ້​ມູນ​.
- ສູດການຄິດໄລ່ທີ່ມີ O(1) ຄວາມຊັບຊ້ອນຊ່ອງໃຊ້ຄວາມຊົງຈໍາຄົງທີ່ໂດຍບໍ່ຄໍານຶງເຖິງຂະຫນາດຂອງວັດສະດຸປ້ອນ.

ທັງສອງຕົວຊີ້ວັດແມ່ນມີຄວາມຈໍາເປັນ. ສູດການຄິດໄລ່ໄວອາດຈະໝົດຄວາມຈຳໃນຊຸດຂໍ້ມູນຂະໜາດໃຫຍ່, ໃນຂະນະທີ່ສູດການຄິດໄລ່ປະສິດທິພາບຄວາມຈຳອາດຊ້າເກີນໄປສຳລັບແອັບພລິເຄຊັນໃນເວລາຈິງ.

ຄວາມສໍາຄັນໃນການອອກແບບສູດການຄິດໄລ່

ປະສິດທິພາບກໍານົດຄວາມເປັນໄປໄດ້. ພິຈາລະນາຈັດຮຽງບັນຊີລາຍຊື່ຂອງ 10 ລາຍການທຽບກັບ 10 ລ້ານ:
- A ການຈັດລຽງຟອງ ( O(n) ) ອາດຈະພຽງພໍສໍາລັບຊຸດຂໍ້ມູນຂະຫນາດນ້ອຍແຕ່ກາຍເປັນສິ່ງທີ່ບໍ່ສາມາດປະຕິບັດໄດ້ສໍາລັບຂະຫນາດໃຫຍ່.
- A ຮວມການຈັດລຽງ ( O(n log n) ) ຈັດການຊຸດຂໍ້ມູນໃຫຍ່ກວ່າຢ່າງສະຫງ່າງາມ ແຕ່ຕ້ອງການຄວາມຈຳເພີ່ມເຕີມ.

ການ​ວິ​ເຄາະ​ຄວາມ​ຊັບ​ຊ້ອນ​ສະ​ຫນອງ​ພາ​ສາ​ທົ່ວ​ໄປ​ເພື່ອ​ປຽບ​ທຽບ​ວິ​ທີ​ການ​, abstracting ໄປ​ຫ່າງ​ຈາກ​ລາຍ​ລະ​ອຽດ​ສະ​ເພາະ​ຂອງ​ຮາດ​ແວ​. ມັນຊ່ວຍໃຫ້ຜູ້ພັດທະນາສາມາດຄາດຄະເນການຂະຫຍາຍໄດ້ ແລະຫຼີກລ່ຽງການຂວ້ຳບາດໃນລະບົບທີ່ສຳຄັນ.

ຫມາຍເຫດ asymptotic: ພາສາຂອງຄວາມສັບສົນ

notations asymptotic ອະທິບາຍພຶດຕິກໍາການຈໍາກັດຂອງຫນ້າທີ່, ສະເຫນີ shorthand ສໍາລັບຄວາມສັບສົນ. ສາມຫມາຍເຫດຕົ້ນຕໍແມ່ນ:

ໃຫຍ່ O (O): Upper Bound (ກໍລະນີຮ້າຍແຮງທີ່ສຸດ)

Big O notation ກຳນົດເວລາສູງສຸດ ຫຼືພື້ນທີ່ທີ່ລະບົບຈະໃຊ້. ຕົວຢ່າງ:
- O(1) : ເວລາຄົງທີ່ (ເຊັ່ນ: ການເຂົ້າເຖິງອົງປະກອບ array ໂດຍດັດສະນີ).
- O(n) : Linear time (ເຊັ່ນ: iterating ຜ່ານລາຍການ).
- O(n) : ເວລາສີ່ຫຼ່ຽມ (ຕົວຢ່າງ: ວົງແຫວນທີ່ຕິດຢູ່ໃນການຈັດລຽງຟອງ).

Big O ແມ່ນ metric ທີ່ໃຊ້ທົ່ວໄປທີ່ສຸດ, ຍ້ອນວ່າມັນຮັບປະກັນການປະຕິບັດເພດານ.

Omega : Lower Bound (Best-Case)

Omega ອະທິບາຍເວລາຂັ້ນຕ່ໍາທີ່ຕ້ອງການ. ຕົວຢ່າງ:
- ການ​ຊອກ​ຫາ​ເສັ້ນ​ມີ​ (1) ຖ້າເປົ້າຫມາຍແມ່ນອົງປະກອບທໍາອິດ.

ໃນຂະນະທີ່ມີແງ່ດີ, ການວິເຄາະກໍລະນີທີ່ດີທີ່ສຸດແມ່ນມີຂໍ້ມູນຫນ້ອຍສໍາລັບການວາງແຜນກໍລະນີທີ່ຮ້າຍແຮງທີ່ສຸດ.

Theta : Tight Bound (Average-Case)

Theta ສົມທົບ Big O ແລະ Omega, ເປັນຕົວແທນຂອງພຶດຕິກໍາ asymptotic ທີ່ແນ່ນອນ. ຖ້າ algorithms ກໍລະນີທີ່ດີທີ່ສຸດແລະຮ້າຍແຮງທີ່ສຸດແມ່ນຄືກັນ:
- (n log n) ໃຊ້ກັບການລວມການຈັດລຽງຂອງສະຖານະການສະເລ່ຍ ແລະກໍລະນີຮ້າຍແຮງທີ່ສຸດ.

notations ເຫຼົ່າ ນີ້ abstracts ຫ່າງ ຄົງ ທີ່ ແລະ ຄໍາ ສັ່ງ ຕ ່ ໍ າ, ສຸມ ໃສ່ ການ ອັດ ຕາ ການ ຂະ ຫຍາຍ ຕົວ. ສໍາລັບຕົວຢ່າງ, 2n+3n+ 4 ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ O(n) ເນື່ອງຈາກວ່າໄລຍະ quadratic dominates ສໍາລັບຂະຫນາດໃຫຍ່ ນ .

ຫ້ອງຮຽນສະລັບສັບຊ້ອນທົ່ວໄປ

ຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບຊັ້ນຮຽນຄວາມຊັບຊ້ອນຈະຊ່ວຍຈັດໝວດໝູ່ຂອງສູດການຄິດໄລ່ຕາມການຂະຫຍາຍ. ນີ້ແມ່ນການຈັດລຳດັບຈາກຫຼາຍສຸດໄປຫາປະສິດທິພາບໜ້ອຍທີ່ສຸດ:

O(1): ເວລາຄົງທີ່

ເວລາປະຕິບັດຫຼືຄວາມຊົງຈໍາຍັງຄົງບໍ່ປ່ຽນແປງເປັນ ນ ເຕີບໃຫຍ່.
- ຕົວຢ່າງ : ການເຂົ້າເຖິງຄ່າຕາຕະລາງ hash ໂດຍຄີ.

O(log n): ເວລາ logarithmic

Runtime ເຕີບໃຫຍ່ຂຶ້ນດ້ວຍ logarithmically ນ .
- ຕົວຢ່າງ : ການຄົ້ນຫາແບບໄບນາຣີ ແບ່ງພື້ນທີ່ການປ້ອນຂໍ້ມູນແຕ່ລະເທື່ອ.

O(n): ເວລາເສັ້ນ

Runtime scales ອັດຕາສ່ວນກັບ ນ .
- ຕົວຢ່າງ : ຄົ້ນຫາເສັ້ນຜ່ານລາຍຊື່ທີ່ບໍ່ຈັດຮຽງ.

O(n log n): ເວລາ Linearithmic

ທົ່ວໄປໃນຂັ້ນຕອນການແບ່ງ ແລະ ເອົາຊະນະ.
- ຕົວຢ່າງ : ລວມການຈັດຮຽງ ແລະຈັດຮຽງ heap.

O(n): ເວລາສີ່ຫຼ່ຽມ

ການເຮັດຊ້ໍາຊ້ອນເຮັດໃຫ້ການຂະຫຍາຍຕົວລະເບີດ.
- ຕົວຢ່າງ : Bubble sort and selection sort.

O(2): ເວລາເລກກຳລັງ

ເວລາແລ່ນເພີ່ມຂຶ້ນສອງເທົ່າດ້ວຍການປ້ອນຂໍ້ມູນແຕ່ລະອັນ.
- ຕົວຢ່າງ : ການຄຳນວນ Fibonacci ຊ້ຳໆ ໂດຍບໍ່ມີການ memoization.

O(n!): ເວລາໂຮງງານ

ສູດການຄິດໄລ່ຕາມການປ່ຽນແປງ.
- ຕົວຢ່າງ : ແກ້ໄຂບັນຫາພະນັກງານຂາຍເດີນທາງຜ່ານ brute-force.

ຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງ O(n log n) ແລະ O(n) ກາຍເປັນ stark ສໍາລັບ n = 10 : ອະດີດອາດຈະປະຕິບັດເປັນ milliseconds, ໃນຂະນະທີ່ອັນສຸດທ້າຍອາດຈະໃຊ້ເວລາຫຼາຍມື້.

ການວິເຄາະກໍລະນີ: ສະຖານະການທີ່ດີທີ່ສຸດ, ສະເລ່ຍ, ແລະກໍລະນີຮ້າຍແຮງທີ່ສຸດ

ສູດການຄິດໄລ່ປະຕິບັດແຕກຕ່າງກັນໂດຍອີງໃສ່ການຕັ້ງຄ່າການປ້ອນຂໍ້ມູນ. ການວິເຄາະທຸກກໍລະນີຮັບປະກັນຄວາມແຂງແຮງ:

ກໍລະນີທີ່ດີທີ່ສຸດ: ການປ້ອນຂໍ້ມູນທີ່ດີທີ່ສຸດ

• ຕົວຢ່າງ : ຂັ້ນຕອນການແບ່ງປັນ QuickSorts ແຍກອາເຣໃຫ້ສະເໝີກັນ, ຜົນໄດ້ຮັບ O(n log n) .

ກໍລະນີທີ່ຮ້າຍແຮງທີ່ສຸດ: ການປ້ອນຂໍ້ມູນທາງພະຍາດ

• ຕົວຢ່າງ : QuickSort degrades ເປັນ O(n) ຖ້າ pivot ແມ່ນອົງປະກອບທີ່ນ້ອຍທີ່ສຸດໃນອາເຣທີ່ຈັດຮຽງ.

ກໍລະນີສະເລ່ຍ: ການປ້ອນຂໍ້ມູນແບບສຸ່ມ

• ຕົວຢ່າງ : QuickSort ສະເລ່ຍ O(n log n) ສໍາລັບຂໍ້ມູນທີ່ບໍ່ໄດ້ຈັດຮຽງ.

ຜົນກະທົບທາງປະຕິບັດ

ຕົວເພີ່ມປະສິດທິພາບການສອບຖາມຖານຂໍ້ມູນອາດຈະເລືອກລະຫວ່າງການເຂົ້າຮ່ວມ hash ( O(n + m) ) ແລະ loop ຊ້ອນເຂົ້າຮ່ວມ ( O(nm) ) ອີງໃສ່ການແຈກຢາຍຂໍ້ມູນ. ການວິເຄາະກໍລະນີທີ່ຮ້າຍແຮງທີ່ສຸດແມ່ນສໍາຄັນສໍາລັບລະບົບຄວາມປອດໄພທີ່ສໍາຄັນ (ເຊັ່ນ: ຊອບແວການບິນ), ບ່ອນທີ່ການຄາດເດົາແມ່ນບໍ່ສາມາດຍອມຮັບໄດ້.

ການປຽບທຽບ Algorithms ສໍາລັບບັນຫາດຽວກັນ

ບັນຫາດຽວກັນສາມາດແກ້ໄຂໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດການຄິດໄລ່ທີ່ແຕກຕ່າງກັນ. ຕົວຢ່າງ, ບັນຫາຂອງການຄົ້ນຫາມູນຄ່າເປົ້າຫມາຍໃນບັນຊີລາຍຊື່ຂອງມູນຄ່າສາມາດແກ້ໄຂໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດການຄິດໄລ່ທີ່ແຕກຕ່າງກັນ, ເຊັ່ນ: ການຄົ້ນຫາເສັ້ນ, ການຄົ້ນຫາຄູ່, ຫຼືການຊອກຫາຕາຕະລາງ hash.

ຕາຕະລາງຂ້າງລຸ່ມນີ້ປຽບທຽບຄວາມຊັບຊ້ອນເວລາແລະພື້ນທີ່ຂອງ algorithms ເຫຼົ່ານີ້ສໍາລັບການຊອກຫາມູນຄ່າເປົ້າຫມາຍໃນບັນຊີລາຍຊື່ຂອງ ນ ຄຸນຄ່າ.

ທາງເລືອກຂອງສູດການຄິດໄລ່ແມ່ນຂຶ້ນກັບຂະຫນາດບັນຫາ, ລັກສະນະການປ້ອນຂໍ້ມູນ, ແລະຊັບພະຍາກອນທີ່ມີຢູ່. ຕົວຢ່າງ, ຖ້າບັນຊີລາຍຊື່ມີຂະຫນາດນ້ອຍແລະບໍ່ຖືກຈັດຮຽງ, ການຄົ້ນຫາເສັ້ນອາດຈະເປັນທາງເລືອກທີ່ດີທີ່ສຸດ. ຖ້າບັນຊີລາຍຊື່ມີຂະຫນາດໃຫຍ່ແລະຈັດຮຽງ, ການຄົ້ນຫາຄູ່ອາດຈະເປັນທາງເລືອກທີ່ດີທີ່ສຸດ. ຖ້າບັນຊີລາຍຊື່ໃຫຍ່ແລະບໍ່ຖືກຈັດຮຽງ, ການຄົ້ນຫາຕາຕະລາງ hash ອາດຈະເປັນທາງເລືອກທີ່ດີທີ່ສຸດ.

ຫົວຂໍ້ຂັ້ນສູງໃນການວິເຄາະຄວາມສັບສົນ

ການວິເຄາະການຕັດຂາຍ

ການວິເຄາະການຕັດຊໍາລະສະເລ່ຍແມ່ນໃຊ້ເວລາໃນໄລຍະການດໍາເນີນການຕາມລໍາດັບ.
- ຕົວຢ່າງ : ອາເຣແບບໄດນາມິກຈະມີຄວາມຈຸສອງເທົ່າເມື່ອເຕັມ. ໃນຂະນະທີ່ເປັນໂສດ ຍູ້ ການດໍາເນີນງານອາດຈະໃຊ້ເວລາ O(n) ທີ່​ໃຊ້​ເວ​ລາ​, ຄ່າ​ໃຊ້​ຈ່າຍ​ຈໍາ​ຫນ່າຍ​ຍັງ​ຄົງ​ຢູ່​ O(1) .

ການວິເຄາະຄວາມເປັນໄປໄດ້

ສູດການຄິດໄລ່ເຊັ່ນ Monte Carlo ແລະ ລາສເວກັສ ໃຊ້ແບບສຸ່ມເພື່ອປະສິດທິພາບ.
- ຕົວຢ່າງ : Miller-Rabin primality test ມີການຮັບປະກັນຄວາມເປັນໄປໄດ້ແຕ່ໄວກວ່າວິທີການກໍານົດ.

NP-ຄວາມສົມບູນແລະການຫຼຸດຜ່ອນ

ບັນຫາບາງຢ່າງ (ຕົວຢ່າງ, ຄວາມພໍໃຈ Boolean) ແມ່ນ NP-complete , ຊຶ່ງຫມາຍຄວາມວ່າບໍ່ມີການແກ້ໄຂເວລາ polynomial ທີ່ຮູ້ຈັກມີຢູ່. ການພິສູດຄວາມສົມບູນຂອງ NP ຜ່ານການຫຼຸດລົງຈະຊ່ວຍຈັດປະເພດຄວາມແຂງຂອງຄອມພິວເຕີ້.

ການປະຕິບັດການປະຕິບັດຂອງຄວາມແຕກຕ່າງຂອງຄວາມສັບສົນ

ຂໍ້ມູນໃຫຍ່ ແລະການຮຽນຮູ້ເຄື່ອງຈັກ

ອັນ O(n) algorithm ການ​ຈັດ​ກຸ່ມ​ສາ​ມາດ​ກາຍ​ເປັນ​ກະ​ຕຸກ​ສໍາ​ລັບ​ຊຸດ​ຂໍ້​ມູນ​ຂະ​ຫນາດ​ໃຫຍ່​, ກະ​ຕຸ້ນ​ໃຫ້​ປ່ຽນ​ໄປ​ຫາ​ວິ​ທີ​ການ​ໂດຍ​ປະ​ມານ​ເຊັ່ນ​: ຕົ້ນ kd ( O(n log n) ).

ການເຂົ້າລະຫັດລັບ

ລະ​ບົບ​ສາ​ທາ​ລະ​ນະ​ທີ່​ສໍາ​ຄັນ​ອີງ​ໃສ່​ຄວາມ​ແຂງ​ຂອງ​ O(2) ບັນຫາ (ຕົວຢ່າງ, ຕົວເລກຕົວເລກ) ເພື່ອຕ້ານການໂຈມຕີ.

ການພັດທະນາເກມ

ເຄື່ອງຈັກສະແດງຜົນແບບສົດໆໃຫ້ຄວາມສຳຄັນ O(1) ສູດການຄິດໄລ່ສໍາລັບການຈໍາລອງຟີຊິກເພື່ອຮັກສາ 60+ FPS.

ການເລືອກວິທີທີ່ຖືກຕ້ອງ

ການຄ້າ- offs ສໍາຄັນ:
- ເວລາທຽບກັບ. ຊ່ອງ : ໃຊ້ແຜນທີ່ hash ( O(1) lookups) ໃນຄ່າໃຊ້ຈ່າຍຂອງຫນ່ວຍຄວາມຈໍາ.
- ຄວາມງ່າຍດາຍທຽບກັບ. ເໝາະສົມ : ການຈັດລຽງການແຊກ ( O(n) ) ອາດ​ຈະ​ເປັນ​ທີ່​ເຫມາະ​ສົມ​ສໍາ​ລັບ​ຂະ​ຫນາດ​ນ້ອຍ​, ຊຸດ​ຂໍ້​ມູນ​ເກືອບ​ຈັດ​ລຽງ​ລໍາ​ດັບ​.

ເຄື່ອງມືແລະເຕັກນິກການວິເຄາະຄວາມສັບສົນ

ການພົວພັນເກີດຂຶ້ນຊ້ຳ

ສໍາລັບສູດການຄິດໄລ່ recursive, recurrence relationship model runtime. ສໍາລັບຕົວຢ່າງ, merge sorts recurrence:
[ T(n) = 2T(n/2) + O(n) ] ແກ້ໄຂໃຫ້ O(n log n) ຜ່ານ ທິດສະດີຕົ້ນສະບັບ .

Benchmarking

ການ​ທົດ​ສອບ​ທາງ​ວິ​ຊາ​ການ​ເສີມ​ຂະ​ຫຍາຍ​ການ​ວິ​ເຄາະ​ທາງ​ທິດ​ສະ​ດີ​. ເຄື່ອງມືການເກັບຂໍ້ມູນ (ຕົວຢ່າງ, Valgrind, perf) ເປີດເຜີຍຂໍ້ບົກຜ່ອງຂອງໂລກທີ່ແທ້ຈິງ.

ການວິເຄາະ asymptotic ໃນລະຫັດ

python

O(n) ຄວາມຊັບຊ້ອນເວລາ

def linear_sum(arr):
ທັງໝົດ = 0
ສໍາລັບຕົວເລກໃນ arr:
ທັງໝົດ += ຈຳນວນ
ກັບຄືນທັງຫມົດ

O(n) ຄວາມຊັບຊ້ອນເວລາ

def quadratic_sum(arr):
ທັງໝົດ = 0
ສໍາລັບຂ້າພະເຈົ້າໃນ arr:
ສໍາລັບ j in arr:
ທັງຫມົດ += i * j
ກັບຄືນທັງຫມົດ

ຄວາມຜິດພາດທົ່ວໄປ ແລະຄວາມເຂົ້າໃຈຜິດ

ການລະເວັ້ນຄ່າຄົງທີ່ແລະເງື່ອນໄຂການສັ່ງຊື້ຕ່ໍາກວ່າ

ໃນຂະນະທີ່ O(n) abstracts ຫ່າງຄົງທີ່, ກ 100ນ algorithm ອາດຈະຊ້າກວ່າ a 0.01ນ ສູດການຄິດໄລ່ສໍາລັບການປະຕິບັດ ນ .

ການຕັດຂະໜາດການປ້ອນຂໍ້ມູນຜິດ

ອັນ O(n log n) algorithm ອາດຈະເຮັດວຽກຫນ້ອຍ O(n) ສໍາລັບ n = 10 ເນື່ອງຈາກ overhead.

ມອງຂ້າມຄວາມຊັບຊ້ອນອາວະກາດ

ຟັງຊັນ Fibonacci memoized ( O(n) space​) ສາ​ມາດ​ຂັດ​ກັບ​ການ​ນໍາ​ເຂົ້າ​ຂະ​ຫນາດ​ໃຫຍ່​, ບໍ່​ເຫມືອນ​ກັບ​ສະ​ບັບ​ຊ​້​ໍາ ( O(1) ຊ່ອງ).

ກໍລະນີທີ່ສັບສົນທີ່ສຸດ ແລະກໍລະນີສະເລ່ຍ

ການດຸ່ນດ່ຽງຕົນເອງ BST ( O(log n) ຄົ້ນຫາ) ແມ່ນປອດໄພກວ່າ BST ປົກກະຕິ ( O(n) worst-case) ສໍາລັບຂໍ້ມູນທີ່ບໍ່ຫນ້າເຊື່ອຖື.

ສະຫຼຸບ

ການວິເຄາະຄວາມສັບສົນຂອງສູດການຄິດໄລ່ແມ່ນເຂັມທິດນໍາພານັກພັດທະນາຜ່ານພູມສັນຖານທີ່ກວ້າງຂວາງຂອງປະສິດທິພາບຄອມພິວເຕີ້. ສໍາລັບນັກສຶກສາ MTSC7196, ການຮຽນຮູ້ວິຊາສະເພາະນີ້ສ້າງຂົວຄວາມຮູ້ທາງທິດສະດີແລະຄວາມຊໍານານພາກປະຕິບັດ. ໂດຍການຕັດເອົາຄວາມຕ້ອງການເວລາແລະພື້ນທີ່, ການປຽບທຽບຂອບເຂດ asymptotic, ແລະການນໍາທາງການຄ້າ - offs ທີ່ແທ້ຈິງ, ນັກພັດທະນາສາມາດສ້າງລະບົບທີ່ມີຂະຫນາດທີ່ສະຫງ່າງາມແລະປະຕິບັດຫນ້າເຊື່ອຖືໄດ້.

ໃນຍຸກທີ່ ກຳ ນົດໂດຍນະວັດຕະ ກຳ ທີ່ຂັບເຄື່ອນດ້ວຍຂໍ້ມູນ, ຄວາມສາມາດໃນການເຂົ້າໃຈລະຫວ່າງ O(n log n) ແລະ O(n) ການ​ແກ້​ໄຂ​ບໍ່​ພຽງ​ແຕ່​ວິ​ຊາ​ການ​ເປັນ​ຄວາມ​ຈໍາ​ເປັນ​ຍຸດ​ທະ​ສາດ​. ໃນຂະນະທີ່ເຈົ້າກ້າວໄປເຖິງການສຶກສາຂອງເຈົ້າ, ຈົ່ງຈື່ໄວ້ວ່າ: ການວິເຄາະຄວາມຊັບຊ້ອນບໍ່ແມ່ນກ່ຽວກັບຕົວເລກ ແລະ ສັນຍາລັກເທົ່ານັ້ນ. ມັນກ່ຽວກັບການເຂົ້າໃຈການເຕັ້ນຂອງຫົວໃຈຂອງຄອມພິວເຕີ້ເອງ.