אנאליזירן אַלגעריטם קאָמפּלעקסיטי דיפעראַנסיז פֿאַר MTSC7196

פֿאַרשטיין אַלגעריטם קאָמפּלעקסיטעט

צייט קעגן פּלאַץ קאָמפּלעקסיטעט

אַלגעריטם קאָמפּלעקסיטעט אַדרעסירט בפֿרט צוויי רעסורסן: צייט (דורכפירונג געדויער) און פּלאַץ (זכּרון באַניץ). כאָטש צייט קאָמפּלעקסיטעט מעסט ווי ראַנטיים וואַקסט מיט די גרייס פון די אַרייַנשרייַב ( נ ), פּלאַץ קאָמפּלעקסיטי עוואַלוירט זכּרון קאַנסאַמשאַן. למשל:
- אַן אַלגעריטם מיט א(ן) צייט קאָמפּלעקסיטעט סקאַלייז לינעאַר מיט די גרייס פון די אַרייַנגאַנג.
- אַן אַלגעריטם מיט O(1) ספעיס קאמפלעקסיטעט ניצט קאנסטאנטע זכרון אומאפהענגיק פון אינפוט גרייס.

ביידע מעטריקס זענען וויכטיג. א שנעלער אַלגעריטם קען אויסשעפן זכּרון אויף גרויסע דאַטאַסעץ, בשעת אַ זכּרון-עפעקטיווער אַלגעריטם קען זיין צו פּאַמעלעך פֿאַר רעאַל-צייט אַפּלאַקיישאַנז.

וויכטיקייט אין אַלגעריטם פּלאַן

עפעקטיווקייט דיקטירט מעגלעכקייט. באַטראַכטן סאָרטירן אַ רשימה פון 10 זאכן קעגן 10 מיליאָן:
- A בלאָז סאָרט ( א(ן) ) קען זיין גענוג פאר קליינע דאטן-זאמלונגען אבער ווערט נישט פראקטיש פאר גרויסע.
- A צונויפגיסן סאָרט ( O(n לאָג n) ) האַנדלט מיט גרעסערע דאַטאַסעץ גראַציעז אָבער דאַרף נאָך זכּרון.

קאָמפּלעקסיטעט אַנאַליז צושטעלט אַן אוניווערסאַלע שפּראַך צו פֿאַרגלײַכן אַלגעריטמען, אַבסטראַקטירנדיק אַוועק האַרדווער-ספּעציפֿישע פרטים. עס גיט דעוועלאָפּערס די מעגלעכקייט צו פאָרויסזאָגן סקאַלאַביליטי און ויסמיידן פלאַשנעס אין קריטישע סיסטעמען.

אַסימפּטאָטישע נאָטאַציעס: די שפּראַך פֿון קאָמפּלעקסיטעט

אַסימפּטאָטישע נאָטאַציעס באַשרײַבן דאָס לימיטירנדיקע נאַטור פֿון פונקציעס, און אָפֿערן אַ קיצור פֿאַר קאָמפּלעקסיטעט. די דריי הויפּט נאָטאַציעס זענען:

גרויסע אָ (אָ): אויבערשטע גרענעץ (ערגסטע פאַל)

די גרויסע O נאטאציע דעפינירט די מאַקסימום צייט אָדער פּלאַץ וואָס אַן אַלגערידאַם וועט נעמען. למשל:
- O(1) קאנסטאנטע צייט (למשל, צוטריט צו אן ארעי עלעמענט דורך אינדעקס).
- א(ן) לינעאַרע צייט (למשל, איבערחזרן א ליסטע).
- א(ן) קוואַדראַטישע צייט (למשל, איינגענעסטעד שלייפן אין בלאָז סאָרט).

גרויסע אָ איז די מערסט גענוצטע מעטריק, ווײַל עס גאַראַנטירט פאָרשטעלונג סילינגז.

אמעגא: נידעריקער גרענעץ (בעסטער-פאַל)

אמעגא באשרייבט די מינימום צייט וואס איז נויטיג. למשל:
- א לינעארע זוכעניש האט (1) אויב די ציל איז דער ערשטער עלעמענט.

כאָטש אָפּטימיסטיש, איז די בעסטע-פאַל אַנאַליז ווייניקער אינפאָרמאַטיוו פֿאַר די ערגסטע-פאַל פּלאַנירונג.

טעטאַ: ענג געבונדן (דורכשניטלעך-פאַל)

טעטאַ קאָמבינירט ביג אָ און אמעגאַ, רעפּרעזענטירנדיק די גענויע אַסימפּטאָטישע נאַטור. אויב אַן אַלגעריטם, די בעסטע און ערגסטע פאַלן זענען די זעלבע:
- (n לאָג n) אַפּלייז צו צונויפגיסן סאָרטן דורכשניטלעך און ערגסט-פאַל סצענאַריאָס.

די נאטאציעס אבסטראקטירן אוועק קאנסטאנטן און נידעריקער-ארדענונג טערמינען, קאנצענטרירנדיג זיך אויף וואוקס ראטעס. למשל, 2n + 3n + 4 פאַרפּשוטערט צו א(ן) ווייל דער קוואַדראַטישער טערמין דאָמינירט פֿאַר גרויסע נ .

געוויינטלעכע קאָמפּלעקסיטעט קלאַסן

פֿאַרשטיין קאָמפּלעקסיטי קלאַסן העלפֿט קאַטעגאָריזירן אַלגעריטמען לויט סקאַלאַביליטי. דאָ איז אַ כייעראַרכיע פֿון מערסט צו מינדסטער עפֿעקטיוו:

O(1): קאָנסטאַנטע צייט

די אויספיר צייט אדער זכּרון בלייבט אומגעביטן ווי נ וואַקסט.
- בייַשפּיל צוטריט צו א העש טאבעלע ווערט דורך שליסל.

O(log n): לאָגאַריטמישע צייט

ראַנטיים וואַקסט לאָגאַריטמיש מיט נ .
- בייַשפּיל בינארישע זוכן העלפטירט דעם אינפוט ספעיס יעדע איטעראציע.

O(n): לינעאַרע צייט

לויף-צייט סקאלירט פראפארציאנעל מיט נ .
- בייַשפּיל לינעאַרע זוכן דורך אַן אַנסאָרטיד רשימה.

O(n log n): לינעאַריטמישע צייט

געוויינטלעך אין טיילן-און-הערשן אַלגעריטמען.
- בייַשפּיל צונויפגיסן סאָרט און היפּ סאָרט.

O(n): קוואַדראַטישע צייט

נעסטעד איטעראַציעס פירן צו עקספּלאָזיוון וווּקס.
- בייַשפּיל בלאָז סאָרט און סעלעקציע סאָרט.

O(2): עקספּאָנענציעלע צייט

לויף-צייט פארדאפלט זיך מיט יעדן צוגעלייגטן אינפוט.
- בייַשפּיל רעקורסיווע פיבאָנאַטשי קאַלקולאַציע אָן מעמאָיזאַציע.

O(n!): פאַקטאָריאַל צייט

פּערמוטאַציע-באַזירטע אַלגעריטמען.
- בייַשפּיל לייזן דעם פראבלעם פון רייזנדיקן פארקויפער דורך ברוט-פארס.

דער חילוק צווישן O(n לאָג n) און א(ן) ווערט שטרענג פֿאַר נ = 10 : די ערשטע קען אויספירן אין מיליסעקונדעס, בשעת די צווייטע קען נעמען טעג.

פאַל אַנאַליז: בעסטע, דורכשניטלעך און ערגסטע פאַל סצענאַרן

אַלגעריטמען פונקציאָנירן אַנדערש באַזירט אויף אינפוט קאָנפיגוראַציעס. אנאליזירן אלע פעלער זיכערט שטארקייט:

בעסטע פאַל: אָפּטימאַלער אַרייַנשרייַב

• בייַשפּיל קוויקסארטס צעטיילונג שריט טיילט דעם אַרעי גלייך, רעזולטירנדיק O(n לאָג n) .

ערגסט-פאַל: פּאַטאָלאָגישע אַרייַנשרייַב

• בייַשפּיל קוויקסארט דעגראַדירט צו א(ן) אויב דער פּיוואַט איז דער קלענסטער עלעמענט אין אַ סאָרטירטן אַרעי.

דורכשניטלעך-פאַל: ראַנדאָם אַרייַנשרייַב

• בייַשפּיל קוויק-סאָרט דורכשניטן O(n לאָג n) פֿאַר נישט-סאָרטירטע דאַטן.

פּראַקטישע אימפּליקאַציעס

א דאַטאַבייס קווערי אָפּטימיזירער קען אויסקלײַבן צווישן אַ האַש דזשוין ( O(n + m) ) און איינגענעסטעד שלייף דזשוין ( O(nm) ) באזירט אויף דאַטן פאַרשפּרייטונג. ערגסט-קעיס אנאליז איז קריטיש פאר זיכערהייט-קריטישע סיסטעמען (למשל, אוויאציע ווייכווארג), וואו אומפארזעבארקייט איז נישט אקצעפטירבאר.

פאַרגלייַכן אַלגעריטמען פֿאַר די זעלבע פּראָבלעם

די זעלבע פּראָבלעם קען ווערן געלייזט מיט פֿאַרשידענע אַלגעריטמען. למשל, די פראבלעם פון זוכן א ציל ווערט אין א ליסטע פון ​​ווערטן קען ווערן געלייזט מיט פארשידענע אלגאריטמען, ווי למשל לינעארע זוכן, בינארישע זוכן, אדער העש טאבעלע זוכן.

די טאבעלע אונטן פארגלייכט די צייט און פלאץ קאמפלעקסיטעטן פון די אלגאריטמען פארן זוכן א ציל ווערט אין א ליסטע פון נ ווערטן.

די אויסוואל פון אַלגעריטם דעפּענדס אויף די גרייס פון דעם פּראָבלעם, די כאַראַקטעריסטיקס פון די אַרייַנשרייַב, און די בנימצא רעסורסן. למשל, אויב די ליסטע איז קליין און נישט סאָרטירט, קען לינעאַרע זוכן זיין די בעסטע ברירה. אויב די ליסטע איז גרויס און סאָרטירט, קען בינאַרישע זוכן זיין די בעסטע ברירה. אויב די ליסטע איז גרויס און נישט סאָרטירט, קען העש טאַבלע זוכן זיין די בעסטע ברירה.

אַוואַנסירטע טעמעס אין קאָמפּלעקסיטי אַנאַליסיס

אַמאָרטיזירטע אַנאַליז

אַמאָרטיזירטע אַנאַליז דורכשניטלעך די צייט איבער אַ סיקוואַנס פון אַפּעריישאַנז.
- בייַשפּיל דינאמישע אַרעיען טאָפּלען קאַפּאַציטעט ווען זיי זענען פול. בשעת אן איינציקער שטופּן אָפּעראַציע קען נעמען א(ן) צייט, בלייבט די אַמאָרטיזירטע קאָסטן O(1) .

פּראָבאַביליסטישע אַנאַליז

אַלגעריטמען ווי מאָנטע קאַרלאָ און לאַס וועגאַס ניצן ראַנדאָם פֿאַר עפֿעקטיווקייט.
- בייַשפּיל דער מילער-ראַבין פּרימאַליטי טעסט האט פּראָבאַביליסטישע גאַראַנטיעס אָבער איז שנעלער ווי דעטערמיניסטישע מעטאָדן.

NP-פולשטענדיקייט און רעדוקציעס

עטלעכע פראבלעמען (למשל, בוליאַן סאַטיספאַביליטי) זענען NP-פארענדיקט , דאס מיינט אז קיין באקאנטע פאלינאם-צייט לייזונג עקזיסטירט נישט. באַווייַזן NP-פֿולשטענדיקייט דורך רעדוקציעס העלפֿט קלאַסיפֿיצירן קאַמפּיוטיישאַנאַל כאַרדנאַס.

פּראַקטישע אימפּליקאַציעס פון קאָמפּלעקסיטעט אונטערשיידן

גרויסע דאַטן און מאַשין לערנען

אן א(ן) קלאַסטערינג אַלגעריטם קען ווערן אַ פלאַשנעק פֿאַר מאַסיווע דאַטאַסעץ, וואָס פירט צו ענדערונגען צו אַפּראָקסימאַטיווע מעטאָדן ווי kd ביימער ( O(n לאָג n) ).

קריפּטאָגראַפֿיע

פובליק-שליסל סיסטעמען פארלאזן זיך אויף די הארטקייט פון O(2) פראבלעמען (למשל, גאנצערע פאַקטאָריזאַציע) צו אַנטקעגנשטעלן אַטאַקעס.

שפּיל אַנטוויקלונג

רעאַל-צייט רענדערינג ענדזשינס געבן פריאריטעט O(1) אַלגעריטמען פֿאַר פיזיק סימולאַציעס צו האַלטן 60+ FPS.

אויסקלויבן דעם ריכטיקן אַלגעריטם

האַנדל-אָפס זענען וויכטיק:
- צייט קעגן פּלאַץ ניצן העש מאַפּס ( O(1) זוכונגען) אויף די קאסטן פון זכרון.
- פּשוטקייט קעגן פּשוטקייט אָפּטימאַליטעט : איינשטעלונג סאָרט ( א(ן) ) קען זיין בילכער פֿאַר קליינע, כּמעט סאָרטירטע דאַטאַסעץ.

מכשירים און טעכניקן פֿאַר אַנאַליזירן קאָמפּלעקסיטעט

רעקעראַנס באַציִונגען

פֿאַר רעקורסיווע אַלגעריטמען, רעקעראַנס באַציִונגען מאָדעל ראַנטיים. למשל, צונויפגיסן סאָרטירט ריקעראַנס:
[T(n) = 2T(n/2) + O(n)] רעזולטירט צו O(n לאָג n) דורך די מאַסטער טעאָרעם .

בענטשמאַרקינג

עמפּירישע טעסטינג קאָמפּלעמענטירט טעאָרעטישע אַנאַליז. פּראָפֿילירן מכשירים (למשל, Valgrind, perf) אַנטפּלעקן פאַקטישע שטערונגען.

אַסימפּטאָטישע אַנאַליז אין קאָד

פּיטהאָן

O(n) צייט קאָמפּלעקסיטעט

דעף לינעאַר_סאַם(אַר):
סך־הכּל = 0
פֿאַר נומער אין אַר:
סך הכל += נומער
צוריקקער סך הכל

O(n) צייט קאָמפּלעקסיטעט

דעף קוואַדראַטישע_סומע(אַר):
סך־הכּל = 0
פֿאַר איך אין אַר:
פֿאַר דזש אין אַר:
גאַנץ += i * j
צוריקקער סך הכל

געוויינטלעכע פּיטפאָלז און מיסקאַנסעפּשאַנז

איגנארירן קאנסטאנטן און נידעריקער-ארדענונג טערמינען

בשעת א(ן) אַבסטראַקטירט אַוועק קאָנסטאַנטן, אַ נ100 אַלגעריטם קען זיין שטייטער ווי אַ נ0.01 אַלגעריטם פֿאַר פּראַקטיש נ .

פאַלשע שאַצונג פון די איינגאַבע גרייסן

אן O(n לאָג n) דער אַלגעריטעם קען נישט אַרבעטן גוט א(ן) פֿאַר נ = 10 צוליב איבערהעכט.

איבערבליקן אויף ספעיס קאמפלעקסיטעט

א מעמאריזירטע פיבאנאטשי פונקציע ( א(ן) פּלאַץ) קען קראַכן אויף גרויסע אינפוטס, נישט ווי אַן איטעראַטיווע ווערסיע ( O(1) פּלאַץ).

צעמישנדיק ערגסט-קעיס און דורכשניטלעך-קעיס

א זיך-באַלאַנסירנדיקע BST ( O(לאָג n) זוכן) איז זיכערער ווי אַ רעגולער BST ( א(ן) ערגסטן-פאַל) פֿאַר נישט-פאַרטרויטע דאַטן.

מסקנא

אַלגעריטם קאָמפּלעקסיטי אַנאַליז איז דער קאָמפּאַס וואָס פירט דעוועלאָפּערס דורך דעם ברייטן לאַנדשאַפט פון קאַמפּיוטיישאַנאַל עפעקטיווקייט. פֿאַר MTSC7196 סטודענטן, באַהערשן דעם דיסציפּלין פֿאַרבינדט טעאָרעטישע וויסן און פּראַקטישע עקספּערטיז. דורך דיסעקטירן צייט און פּלאַץ רעקווייערמענץ, פאַרגלייַכן אַסימפּטאָטישע גרענעצן, און נאַוויגירן פאַקטישע קאָמפּראָמיסן, קענען דעוועלאָפּערס שאַפֿן סיסטעמען וואָס סקיילן גראַציעז און פונקציאָנירן פאַרלעסלעך.

אין אַן עפאכע דעפינירט דורך דאַטן-געטריבענע כידעש, די פיייקייט צו אונטערשיידן צווישן אַ O(n לאָג n) און אַ א(ן) אַ לייזונג איז נישט נאָר אַקאַדעמיק, עס איז אַ סטראַטעגישע אימפּעראַטיוו. ווי איר גייט פאָרויס אין אייערע שטודיעס, געדענקט: קאָמפּלעקסיטי אַנאַליז איז נישט בלויז וועגן נומערן און סימבאָלן. עס גייט וועגן פֿאַרשטיין דעם האַרץ־קלאַפּ פֿון קאָמפּיוטאַציע אַליין.